F - Max Matrix - 第二回日本最強プログラマー学生選手権

F - Max Matrix

問題

長さ $N$ の数列 $a$ と、長さ $M$ の数列 $b$ がある
最初、$a,b$ の要素は全て $0$
$Q$ 個のクエリを処理する。$i$ 個目のクエリでは $T_i,X_i,Y_i$ が与えられる
- $T_i=1$ のとき、$a_{Xi}$ を $Y_i$ に置き換える
- $T_i=2$ のとき、$b_{Xi}$ を $Y_i$ に置き換える
- 毎回のクエリの処理直後に $\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{M} \max(a_i,b_j)$ の値を出力する
$1 \le N,M \le 2 \times 10^5$
$1 \le Q \le 2 \times 10^5$
$1 \le Y_i \le 10^8$

解法

最初、全要素が0なので答えは言うまでも無く0。

たとえば $a$ の1個 $a_i$ を $5$ から $10$ に変えたときに、全体の答えがどうなるか考えると、

$b$ の、$10$ より小さい値について
- その個数分だけ、新規に $\max(a_i,b_j)=10$ になる組が増える
  - 答えが「$該当個数 \times 10$」増加する
$b$ の、$5$ 以下の値について
- その個数分だけ、今まで $\max(a_i,b_j)=5$ だった組が上に変わる
  - 答えが「$該当個数 \times 5$」減少する
$b$ の、$5$ より大きく $10$ より小さい値について
- その総和だけ、$\max(a_i,b_j)=b_j$ として今まで答えに寄与していた分が無くなる
  - 答えが「該当する $b_j$ の総和」分だけ減少する

これで全て。
なので、差分だけ更新していくことで、クエリに高速に答えられそう。

なお、$10$ から $5$ に変わるなど値が減少するときは、3つめの増加と減少が逆転する。

範囲の個数や総和を求めたいので、セグメント木やFenwick Treeで管理すればよい。
「$a$ 用、$b$ 用」「個数用、総和用」で合計4つ、必要になる。

$Y_i$ の取り得る範囲が $10^8$ と大きいので、座標圧縮の必要がある。
今回は「$a_i$ を $Y_{old}$ から $Y_{new}$ に変えるとき、この間の個数や総和」が求まればよい、つまり $Y_i$ の大小関係さえ保たれていれば範囲指定できるので、 $Y_i$ として出てくる値をソートして小さい順に $0,1,2,...$ に対応させれば、$Q$ の長さ $2 \times 10^5$ として扱うことができる。

範囲の境界（以下なのか未満なのか、など）に注意。
どちらでもよいが、$a_i=b_j$ となる $b_j$ があり、今まで $\max(a_i,b_j)=b_j$ だった場合、それを「$\max(a_i,b_j)=a_i$ に変わったと見なし、更新対象に含めるのか（同じ値が引かれ、足されるので実質は変化ない）」「変化無しとして更新対象に含めないのか」は、3種類の更新の中で統一しておく必要がある。

Python3

from operator import add


class FenwickTreeInjectable:
    def __init__(self, n, identity_factory, func):
        self.size = n
        self.tree = [identity_factory() for _ in range(n + 1)]
        self.func = func
        self.idf = identity_factory
        self.depth = n.bit_length()

    def add(self, i, x):
        i += 1
        tree = self.tree
        func = self.func
        while i <= self.size:
            tree[i] = func(tree[i], x)
            i += i & -i

    def sum(self, i):
        i += 1
        s = self.idf()
        tree = self.tree
        func = self.func
        while i > 0:
            s = func(s, tree[i])
            i -= i & -i
        return s


n, m, q = map(int, input().split())
y_appear = set()
queries = []
for _ in range(q):
    t, x, y = map(int, input().split())
    y_appear.add(y)
    queries.append((t - 1, x - 1, y))

compress = {y: i + 1 for i, y in enumerate(sorted(y_appear))}
compress[0] = 0

fwt = [
    {
        'count': FenwickTreeInjectable(len(compress) + 5, int, add),
        'total': FenwickTreeInjectable(len(compress) + 5, int, add),
    },
    {
        'count': FenwickTreeInjectable(len(compress) + 5, int, add),
        'total': FenwickTreeInjectable(len(compress) + 5, int, add),
    },
]
fwt[0]['count'].add(0, n)
fwt[1]['count'].add(0, m)

current = [[0] * n, [0] * m]

buf = []

ans = 0
for t, x, y in queries:
    i = compress[y]
    z = current[t][x]
    j = compress[z]
    get = fwt[t ^ 1]['count'].sum(i) * y
    loss1 = fwt[t ^ 1]['count'].sum(j - 1) * z
    loss2 = fwt[t ^ 1]['total'].sum(i) - fwt[t ^ 1]['total'].sum(j - 1)
    ans += get - loss1 - loss2
    fwt[t]['count'].add(i, 1)
    fwt[t]['count'].add(j, -1)
    fwt[t]['total'].add(i, y)
    fwt[t]['total'].add(j, -z)
    current[t][x] = y
    buf.append(ans)

print('\n'.join(map(str, buf)))

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