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programming_algorithm:string_search [2020/01/17] – [Aho-Corasick 法] ikatakos | programming_algorithm:string_search [2020/01/17] – [Manacher] ikatakos | ||
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執筆途中(多分永遠に) | 執筆途中(多分永遠に) | ||
+ | * [[wpjp> | ||
+ | * [[wp> | ||
* [[https:// | * [[https:// | ||
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==== 愚直(Brute Force) ==== | ==== 愚直(Brute Force) ==== | ||
+ | |||
+ | ==計算量== | ||
+ | |||
+ | $O(|S||T|)$ | ||
+ | |||
+ | ==概要== | ||
まずは基本。マッチ位置 $i$ を1つずつずらして、そこから各 $j$ 文字目が一致するか照合していく。 | まずは基本。マッチ位置 $i$ を1つずつずらして、そこから各 $j$ 文字目が一致するか照合していく。 | ||
- | | + | S ABCDEABCF |
- | T ABCF | + | |
- | | + | 照合 |
- | ABCF | + | |
- | 一般的な(言語上意味のある)文字列であればほとんど1文字目で失敗するので、愚直といえどほぼ $O(|S|)$ で済むが、 | + | 一般的な(自然言語上意味のある)文字列であればほとんど1文字目で失敗するので、愚直といえどほぼ $O(|S|)$ で済むが、 |
同じ文字が多く出現する特殊な場合は、最悪 $O(|S||T|)$ かかる。 | 同じ文字が多く出現する特殊な場合は、最悪 $O(|S||T|)$ かかる。 | ||
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* [[wpjp> | * [[wpjp> | ||
* [[https:// | * [[https:// | ||
+ | |||
+ | ==計算量== | ||
+ | |||
+ | 前計算 $O(|T|)$、検索 $O(|S|)$ | ||
+ | |||
+ | ==概要== | ||
1対1の検索アルゴリズム。 | 1対1の検索アルゴリズム。 | ||
- | $T$ から「$j$ 文字目で照合失敗したら次のマッチ位置は何文字飛ばせるか」テーブルを事前に作っておく。 | + | 事前に |
+ | |||
+ | ++++ もう少し詳細 | | ||
+ | 前計算テーブル | ||
j 012345 | j 012345 | ||
T ABCABD | T ABCABD | ||
行 65: | 行 81: | ||
'' | '' | ||
- | (基本的に照合失敗したら $T$ をずらして、失敗した $S$ 側の文字はもう一度 $T$ と照合されるが、$j=0$ の場合のみ、$S$ 側の文字も進める必要がある) | ||
- | 計算量は、テーブル作成 | + | 照合失敗したら、基本的には失敗した $S$ 側の文字はもう一度 |
+ | |||
+ | ++++ | ||
++++ Pythonでの実装例 | | ++++ Pythonでの実装例 | | ||
行 120: | 行 137: | ||
1対1の検索アルゴリズム。 | 1対1の検索アルゴリズム。 | ||
+ | |||
+ | ===計算量=== | ||
+ | |||
+ | 前計算 $O(|T|)$、検索はランダムケースならほぼ $O(\frac{|S|}{|T|})$、最悪 $O(|S||T|)$(最悪を $O(|S|)$ にする改善方法は存在) | ||
+ | |||
+ | ===概要=== | ||
KMP法同様、マッチ位置をスキップしつつずらしていくのだが、文字の照合は後ろからおこなうのが特徴。 | KMP法同様、マッチ位置をスキップしつつずらしていくのだが、文字の照合は後ろからおこなうのが特徴。 | ||
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* [[https:// | * [[https:// | ||
- | 主に $T$ が複数ある場合に用いる。 | + | 主に $T$ が複数ある場合に用いる。($T$ の集合を $\mathbb{T}$ で表す) |
- | $T$ の集合をTrie木化しておくことで、$S$ にどれが含まれているかを $O(|S|)$ で一括に検索できる。 | + | ===計算量=== |
- | 実装としてはTrie木に辺を追加して、「検索に失敗したとき、次に一致する可能性のある | + | $\mathbb{T}$ の各要素の長さの合計を $m$ とすると、 |
- | 構築の方法と何故それで上手くいくのかについては、naoya氏のブログを参照。 | + | 前計算の構築に $O(m)$、検索に $O(|S|+m+マッチ数)$ |
+ | |||
+ | ===概要=== | ||
+ | |||
+ | $\mathbb{T}$ をTrie木化しておくことで、$S$ にどれが含まれているかを一括に検索できる。 | ||
+ | |||
+ | 実装としてはTrie木に戻る辺を追加して、「検索に失敗したとき、次に一致する可能性のある $T$ を探すにはどのノードから再開すればいいか」を効率化している。 | ||
+ | |||
+ | ++++ もう少し詳細 | | ||
+ | |||
+ | ==failureの構築== | ||
+ | |||
+ | Trie木を構築後、各ノードに対し、検索失敗時に戻るノード(failure)を特定する。 | ||
+ | |||
+ | * ''' | ||
+ | * ''' | ||
+ | * ある→その子 | ||
+ | * ない→''' | ||
+ | * ある→その子 | ||
+ | * ない→... | ||
+ | * failureを再帰的に遡り、根まで遡っても無ければ、根 | ||
+ | |||
+ | 幅優先探索で根から近い方から埋めていくことで、遡る時に訪れるfailureが既に確定していることを保証できる。 | ||
+ | |||
+ | ==途中で出現する文字列== | ||
+ | $S=$ ''' | ||
+ | |||
+ | ○ -- a -- b -- c -- d -- z | ||
+ | `--- b -- c -- d -- e | ||
+ | `-- c -- d | ||
+ | |||
+ | ''' | ||
+ | その後''' | ||
+ | |||
+ | 実際は''' | ||
+ | |||
+ | これを捕捉するには、探索中の各ノードで | ||
+ | 「自身のfailure, | ||
+ | しかし、実際にそんなことをやっていると時間がかかるので、failureを構築する過程で前計算しておく。 | ||
+ | |||
+ | 各ノードが「自身からfailureを遡っていったときに見つかる文字列リスト」matchを持つ。 | ||
+ | |||
+ | * Trie木の構築時点では、各 $T_i$ の終端を表すノードのmatchに、$T_i$ を登録しておく | ||
+ | * failure構築時、自身のmatchに、自身のfailureのmatchを全て足す | ||
+ | * 根から近い方から構築するので、failureのmatchには、既にfailureのfailure以前のmatchが含まれている | ||
+ | |||
+ | こうしておくと、上の例では''' | ||
+ | |||
+ | ++++ | ||
++++ Pythonでの実装例 | | ++++ Pythonでの実装例 | | ||
行 313: | 行 384: | ||
failure = self.failure | failure = self.failure | ||
- | q = deque() | + | q = deque(children[0].values()) |
- | for k in children[0].values(): | + | |
- | failure[k] = 0 | + | |
- | q.append(k) | + | |
while q: | while q: | ||
k = q.popleft() | k = q.popleft() | ||
行 358: | 行 425: | ||
* [[wpjp> | * [[wpjp> | ||
- | 検索手法というか、データ構造。複数の文字列を木構造で表現する。 | + | 複数の文字列を木構造で表現するデータ構造。 |
- | トライ木は、文字列の集合を1文字を1ノードとした木構造に変換したもの。 | + | トライ木は、文字列の集合を1文字を1ノードとした木構造に変換したもの。(1辺を1文字と対応させる考え方もあるが、本質は一緒) |
短くて似たような単語が沢山あるとき、特に効率的に保持できる。 | 短くて似たような単語が沢山あるとき、特に効率的に保持できる。 | ||
行 396: | 行 463: | ||
$S$ の各文字の間に $S$ には絶対に登場しないダミー文字を挟み込むと、偶数長の回文も見つけられる(ダミー文字が中心になったとき)。 | $S$ の各文字の間に $S$ には絶対に登場しないダミー文字を挟み込むと、偶数長の回文も見つけられる(ダミー文字が中心になったとき)。 | ||
+ | ++++ Pythonでの実装 | | ||
+ | |||
+ | 両端と各文字の間に' | ||
+ | |||
+ | <sxh python> | ||
+ | def manacher(s): | ||
+ | n = len(s) | ||
+ | radius = [0] * n | ||
+ | i, j = 0, 0 | ||
+ | while i < n: | ||
+ | while i - j >= 0 and i + j < n and s[i - j] == s[i + j]: | ||
+ | j += 1 | ||
+ | radius[i] = j | ||
+ | k = 1 | ||
+ | while i - k >= 0 and i + k < n and k + radius[i - k] < j: | ||
+ | radius[i + k] = radius[i - k] | ||
+ | k += 1 | ||
+ | i += k | ||
+ | j -= k | ||
+ | return radius | ||
+ | |||
+ | |||
+ | s = ' | ||
+ | s = ' | ||
+ | man = manacher(s) | ||
+ | print(man) | ||
+ | # a | ||
+ | # => [1, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 1, 2, 1, 12, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 1] | ||
+ | |||
+ | s = ' | ||
+ | s = ' | ||
+ | man = manacher(s) | ||
+ | print(man) | ||
+ | # a | ||
+ | # => [1, 2, 1, 2, 1, 2, 7, 2, 1, 2, 1, 2, 1] | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ++++ | ||