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| programming_algorithm:dynamic_programming:subset_convolution [2020/02/14] – [定義] ikatakos | programming_algorithm:dynamic_programming:subset_convolution [2020/02/14] (現在) – [高速ゼータ変換 高速メビウス変換] ikatakos | ||
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| * [[https:// | * [[https:// | ||
| - | 競プロでたまに出てくるアルゴリズムで、ちょっと直感的な理解が難しい故か、解説記事がいろいろ書かれている。 | + | 競プロでたまに出てくるアルゴリズムで、ちょっと直感的な理解が難しい故か、解説記事がいろいろ書かれている。 |
| - | 更にそれを整理したキュレーション記事も既にあるため、今更独自に書く意味があるのか不明だが、まぁそこは気にせず自分用メモとして書いておく。 | + | 更にそれを整理したキュレーション記事も既にあるため、今更独自に書く意味があるか微妙だが、まぁそこは気にせず自分用メモとして書いておく。 |
| ===== 定義 ===== | ===== 定義 ===== | ||
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| それを考えると、メビウス変換は逆演算が可能でなければならない？ maxは逆演算できないので、メビウス変換は適用できないと思われる。 | それを考えると、メビウス変換は逆演算が可能でなければならない？ maxは逆演算できないので、メビウス変換は適用できないと思われる。 | ||
| - | ==== 最大公約数によるまとめ上げ | + | ==== 包含以外の畳み込み |
| - | | + | ゼータ変換後の $f$ を $\zeta(f)$ とする。ゼータ変換①を式で表すと |
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| + | * $\zeta(f)(S) = \sum_{S \subseteq T} f(T)$ | ||
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| + | ここで $S$ はbitフラグを示す一般の数字と解釈すると、BitAND演算で示すことも出来る。 | ||
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| + | * $\zeta(f)(i) = \sum_{i \ AND \ j=i} f(j)$ | ||
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| + | このBitAND演算を変えて畳み込みを行うバリエーションも存在する。特にゼータ変換②は、BitORにしたものである。 | ||
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| + | * ゼータ変換② | ||
| + | * $\zeta(f)(i) = \sum_{i \ OR \ j=i} f(j)$ | ||
| + | * maxによる畳み込み | ||
| + | * $\zeta(f)(i) = \sum_{\max(i, | ||
| + | * 単なる累積和っぽい? | ||
| + | * 最大公約数、最小公倍数による畳み込み | ||
| + | * $\zeta(f)(i) = \sum_{\gcd(i, | ||
| + | * $i$ の倍数であるような $j$ | ||
| + | * $\zeta(f)(i) = \sum_{{\rm lcm}(i, | ||
| + | * $i$ の約数であるような $j$ | ||
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