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programming_algorithm:dynamic_programming:subset_convolution [2020/02/12] – [意味合い] ikatakos | programming_algorithm:dynamic_programming:subset_convolution [2020/02/14] – ikatakos | ||
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行 11: | 行 11: | ||
===== 定義 ===== | ===== 定義 ===== | ||
- | 集合についての数え上げを行う動的計画法の一種。 | + | 集合についての畳み込みを行う動的計画法の一種。 |
* ある $N$ 個のものがある | * ある $N$ 個のものがある | ||
行 19: | 行 19: | ||
部分集合 | 部分集合 | ||
- | * それぞれの部分集合につき、何らかのスコアが決まっている | + | * それぞれの部分集合 |
- | * ある部分集合 $S$ について、$S \subseteq T$ となるような全ての $T$ のスコアの総和を求める | + | * ある部分集合 $S_i$ について、$S_i \subseteq T$ となるような全ての $f(T)$ の総和を求めたい |
部分集合 | 部分集合 | ||
- | | + | |
| | ||
- | S = {1} → T = {1}, {0, 1}, {1, 2}, {0, 1, 2} | + | Si = {1} |
- | 4 + | + | → T = {1}, {0, 1}, {1, 2}, {0, 1, 2} |
+ | | ||
* これを全ての部分集合について行うのが「ゼータ変換」であり、高速に行うアルゴリズムを「高速ゼータ変換」という。 | * これを全ての部分集合について行うのが「ゼータ変換」であり、高速に行うアルゴリズムを「高速ゼータ変換」という。 | ||
部分集合 | 部分集合 | ||
- | | + | |
Z変換 | Z変換 | ||
- | * また、Z変換後から元のスコアを逆算する処理を「メビウス変換」という。 | + | * また、Z変換後から元の |
- | | + | |
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Z変換 | Z変換 | ||
+ | ただし、競プロ界隈ではよく使われるこの定義は限定的なものであり、本来のゼータ変換はもう少し広い範囲を指す。 | ||
+ | |||
+ | * [[wpjp> | ||
+ | * [[https:// | ||
==== 定義揺れ ==== | ==== 定義揺れ ==== | ||
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Z変換① | Z変換① | ||
- | ===== 方法 ===== | + | ===== 実装方法 ===== |
集合をbitで表す。 | 集合をbitで表す。 | ||
行 135: | 行 140: | ||
===== 意味合い ===== | ===== 意味合い ===== | ||
- | ビット演算がよくわからなさを増しているが、意味合いは比較的単純であり、 | + | ビット演算が、何やってるかよくわからない感を増しているが、意味合いは比較的単純であり、 |
集合の要素数を $N$ として「$N$ 次元の $(2 \times 2 \times ... \times 2)$ 配列の各次元について後ろの要素を前の要素に足す」という処理を行っている。 | 集合の要素数を $N$ として「$N$ 次元の $(2 \times 2 \times ... \times 2)$ 配列の各次元について後ろの要素を前の要素に足す」という処理を行っている。 | ||
行 152: | 行 157: | ||
A [ [ a00 | A [ [ a00 | ||
| | ||
- | + | | |
- | Z' [ [ a00+a01 | + | Z' [ [ a00+a01 |
[ a10+a11 | [ a10+a11 | ||
| | ||
行 161: | 行 166: | ||
次元が増えても、このように1次元ずつ後ろの要素を前の要素に足していくことを繰り返したものとなる。 | 次元が増えても、このように1次元ずつ後ろの要素を前の要素に足していくことを繰り返したものとなる。 | ||
+ | ===== バリエーション ===== | ||
+ | |||
+ | ==== 加算以外の演算 ==== | ||
+ | |||
+ | ゼータ変換に適用する演算は必ずしも加算である必要は無い。 | ||
+ | 圏論でいう [[wpjp> | ||
+ | |||
+ | A [ [ a00 | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | ↓演算を max としたゼータ変換 | ||
+ | | ||
+ | Z [ [ max(a00, | ||
+ | [ max( | ||
+ | |||
+ | それを考えると、メビウス変換は逆演算が可能でなければならない? maxは逆演算できないので、メビウス変換は適用できないと思われる。 | ||
+ | |||
+ | ==== 包含以外の畳み込み ==== | ||
+ | |||
+ | ゼータ変換後の $f$ を $\zeta(f)$ とする。ゼータ変換①を式で表すと | ||
+ | |||
+ | * $\zeta(f)(S) = \sum_{S \subseteq T} f(T)$ | ||
+ | |||
+ | ここで $S$ はbitフラグを示す一般の数字と解釈すると、BitAND演算で示すことも出来る。 | ||
+ | |||
+ | * $\zeta(f)(i) = \sum_{i \ AND \ j=i} f(j)$ | ||
+ | |||
+ | このBitAND演算を変えて畳み込みを行うバリエーションも存在する。特にゼータ変換②は、BitORにしたものである。 | ||
+ | |||
+ | * ゼータ変換② | ||
+ | * $\zeta(f)(i) = \sum_{i \ OR \ j=i} f(j)$ | ||
+ | * maxによる畳み込み | ||
+ | * $\zeta(f)(i) = \sum_{\max(i, | ||
+ | * 単なる累積和っぽい? | ||
+ | * 最大公約数、最小公倍数による畳み込み | ||
+ | * $\zeta(f)(i) = \sum_{\gcd(i, | ||
+ | * $i$ の倍数であるような $j$ | ||
+ | * $\zeta(f)(i) = \sum_{\lcm(i, | ||
+ | * $i$ の約数であるような $j$ | ||
+ | * [[http:// | ||