差分
このページの2つのバージョン間の差分を表示します。
| 両方とも前のリビジョン前のリビジョン次のリビジョン | 前のリビジョン次のリビジョン両方とも次のリビジョン | ||
| programming_algorithm:data_structure:sparse_table [2019/12/05] – ikatakos | programming_algorithm:data_structure:sparse_table [2019/12/05] – [±1-RmQ] ikatakos | ||
|---|---|---|---|
| 行 94: | 行 94: | ||
| $A=\{A_0, | $A=\{A_0, | ||
| - | この場合、実装はちょっとややこしくなるが、事前計算量と空間を $O(N\log{N})$ から $O(N)$ に落とすことができる。 | + | この場合、実装はちょっとややこしくなるが、クエリ応答は $O(1)$ のまま、事前計算量と空間を $O(N\log{N})$ から $O(N)$ に落とすことができる。 |
| なかなか特殊な条件に見えるが、木の最小共通祖先だったり、たまに使える。 | なかなか特殊な条件に見えるが、木の最小共通祖先だったり、たまに使える。 | ||
| 行 108: | 行 108: | ||
| * ブロックを1要素として、SparseTableを構築する | * ブロックを1要素として、SparseTableを構築する | ||
| * クエリに対して、完全に覆われるブロック内の最小値はSparseTableで求められる | * クエリに対して、完全に覆われるブロック内の最小値はSparseTableで求められる | ||
| - | * はみ出る部分は個別に計算するが、変化パターンが+1か-1のみなので、どのパターンが事前計算して持っておいても大したサイズにならない | + | * はみ出る部分は個別に計算するが、変化パターンが限られるので、事前計算して持っておいても大したサイズにならない |
| | | ||
| 行 124: | 行 124: | ||
| ブロック内の変化は、今回1ブロック3要素なので、%%「++」「+-」「-+」「--」%%の4通りしかない。 | ブロック内の変化は、今回1ブロック3要素なので、%%「++」「+-」「-+」「--」%%の4通りしかない。 | ||
| - | ブロック内での、各パターンの区間 $[l, r]$ の最小値配列は、事前計算で作っておいても間に合う容量である。（ブロックサイズを $s$ とすると $s^22^{s-1}$） | + | なので、全変化パターン・全区間 $[l, r]$ の最小値配列を事前計算で作っても、現実的な容量で間に合う。 |
| + | ブロックサイズを $s$ とすると $s^22^{s-1}$ | ||
| + | |||
| + | 先頭要素が0だったとして、最小値を計算しておく。 | ||
| [++] | [++] | ||
| 行 144: | 行 147: | ||
| $\displaystyle \frac{\log_2{N}}{2}$ が良いとされている。端数はどちらでもよいが、とりあえず切り上げとする。 | $\displaystyle \frac{\log_2{N}}{2}$ が良いとされている。端数はどちらでもよいが、とりあえず切り上げとする。 | ||
| - | というのも、こうするとブロックの個数は $\displaystyle \frac{2N}{\log_2{N}}$ となる。 | + | こうするとSparseTable, |
| + | |||
| + | SparseTableの方は、ブロックの個数が $\displaystyle \frac{2N}{\log_2{N}}$ となる。 | ||
| この要素数でSparseTableを構築すると、$\displaystyle \frac{2N}{\log{N}} \log {\frac{2N}{\log{N}}}=O(N)$ となる。 | この要素数でSparseTableを構築すると、$\displaystyle \frac{2N}{\log{N}} \log {\frac{2N}{\log{N}}}=O(N)$ となる。 | ||
| 行 150: | 行 155: | ||
| また、個別計算の方も、$\displaystyle \frac{\log{N}}{2}^2 2^{\frac{\log{N}}{2}-1}=O(\log^2{N}\sqrt{N})$ となり、$O(N)$ より小さくなる。 | また、個別計算の方も、$\displaystyle \frac{\log{N}}{2}^2 2^{\frac{\log{N}}{2}-1}=O(\log^2{N}\sqrt{N})$ となり、$O(N)$ より小さくなる。 | ||
| + | |||
| + | === 拡張性 === | ||
| + | |||
| + | 必ずしも±1で遷移する場合に限定しなくても、ブロック内全区間の事前計算テーブルのパターン数が $2^s$ 程度で収まる場合、同じ理由で活用できそう。具体的にあるかは知らんけど。 | ||
