セグメント木

• プログラミングコンテストでのデータ構造 (スライド33～)
• セグメント木について - beet's soil

区間に対する処理をするときによく使われる。
$a_1,a_2,...,a_n$の配列に対し、以下を処理する。（一点更新区間取得）

• 区間和のセグメント木
  • $add(i,x)$ : $a_i$ に $x$ を加算する
  • $query(l,r)$ : 区間 $[l,r) = a_l,a_{l+1},...,a_{r-1}$ の合計値を求める
• 最小値（最大値）のセグメント木
  • $update(i,x)$ : $a_i$ を $x$ に上書き更新する
  • $query(l,r)$ : 区間 $[l,r) = a_l,a_{l+1},...,a_{r-1}$ の最小値（最大値）を求める

数学的には、モノイド であればセグメント木で管理することができるとされている。 モノイドとは、例えば「整数全体」と「足し算」のように、ある要素の集合 $S$ とその上での二項演算 $\bullet$ の組合せの内、以下の条件を満たすものである。

• 結合律が成り立つ＝計算の順序を入れ替えてもいい
  • $(a \bullet b) \bullet c = a \bullet (b \bullet c)$
• 単位元が存在する
  • $S$ のどんな要素 $a$ に対しても影響を及ぼさない要素 $e$ が存在する
  • $a \bullet e = e \bullet a = a$

結合律が成り立たない例としては、実数と冪乗が挙げられる。$\displaystyle (4^3)^2=4096, 4^{(3^2)}=262144$

単位元が存在しない例としては、自然数と足し算があげられる。

ただし、モノイド→セグメント木が利用可能は真だが、逆は必ずしも真でない。
例えば単位元が無い自然数上の足し算は、（初期値などに制約はあるが）セグメント木で実装できる。

構造が比較的単純なため、バリエーションもいくつかある。

• 一点更新・区間取得（基本）
• 区間更新・一点取得
• 区間更新・区間取得（遅延セグメント木）
• 多次元化
• 永続化
  • 更新を加えたときに、後から遡って「時刻 $t$ での状態」を復元できる構造

逆元があれば、Binary Indexed Tree が、より高速で、実装もシンプルに求められる。
逆元があるとは、どんな $S$ 上の要素 $a$ に対しても、それを単位元 $e$ にする $S$ 上の要素 $a^{-1}$ が存在することを指す。

• $a \bullet a^{-1} = e$

例えば「整数と足し算」というモノイドなら、自身の正負を反転させれば逆元となる。最小値や最大値には存在しない。

セグメント木には、2つのindex（っぽい概念）が登場する。

• (1) updateやqueryで与えられる $a_i$ の $i$ を指すindex
• (2) 二分木を1つの配列で表現する実装において、その配列上のindex

      １
     /  \
   ２    ３     ←(2)
  / \    / \
４  ５  ６  ７
||  ||  ||  ||    対応
a1  a2  a3  a4  ←(1)

indexは、0始まりか1始まりかを意識する必要がある。

プログラム全般的には、多くの言語で配列の添字が0-indexなのでそれに倣うことが多いが、 特に(2)の二分木の実装では、1-indexにした方が都合が良い。

2進数にしたとき、深さと桁数が一致する。また、子のindexを右bitshiftすると親になるので、親子を辿るindexの計算が簡潔になる。

        0001
       /   \
    0010   0011
    / \     / \
0100 0101 0110 0111

• 2019/11 get_min() を、indexとbit演算を使った書き方に変更（速度up）

Python3

class SegTreeMin:
    """
    以下のクエリを処理する
    1.update:  i番目の値をxに更新する
    2.get_min: 区間[l, r)の最小値を得る
    """

    def __init__(self, n, INF):
        """
        :param n: 要素数
        :param INF: 初期値（入りうる要素より十分に大きな数）
        """
        n2 = 1 << (n - 1).bit_length()
        self.offset = n2
        self.tree = [INF] * (n2 << 1)
        self.INF = INF

    def update(self, i, x):
        """
        i番目の値をxに更新
        :param i: index(0-indexed)
        :param x: update value
        """
        i += self.offset
        self.tree[i] = x
        while i > 1:
            y = self.tree[i ^ 1]
            if y <= x:
                break
            i >>= 1
            self.tree[i] = x

    def get_min(self, a, b):
        """
        [a, b)の最小値を得る
        :param a: index(0-indexed)
        :param b: index(0-indexed)
        """
        result = self.INF

        l = a + self.offset
        r = b + self.offset
        while l < r:
            if r & 1:
                result = min(result, self.tree[r - 1])
            if l & 1:
                result = min(result, self.tree[l])
                l += 1
            l >>= 1
            r >>= 1

        return result

書き方がシンプルになり人によってはアレンジしやすくなる一方、Python、PyPyでは相対的に遅くなるため非推奨。

Python3

class SegTreeMin:
    """
    以下のクエリを処理する
    1.update:  i番目の値をxに更新する
    2.get_min: 区間[l, r)の最小値を得る
    """

    def __init__(self, n):
        """
        :param n: 要素数
        """
        self.n = n
        # nより大きい2の冪数
        n2 = 1
        while n2 < n:
            n2 <<= 1
        self.n2 = n2
        self.tree = [float('inf')] * (n2 << 1)

    def update(self, i, x):
        """
        i番目の値をxに更新
        :param i: index(0-indexed)
        :param x: update value
        """
        i += self.n2
        self.tree[i] = x
        while i > 1:
            self.tree[i >> 1] = x = min(x, self.tree[i ^ 1])
            i >>= 1

    def get_min(self, a, b):
        """
        [a, b)の最小値を得る
        :param a: index(0-indexed)
        :param b: index(0-indexed)
        """
        return self._get_min(a, b, 1, 0, self.n2)

    def _get_min(self, a, b, k, l, r):
        """
        [a, b)の最小値を得る内部関数
        :param k: 現在調べている区間のtree内index
        :param l, r: kが表す区間の左右端index [l, r)
        :return: kが表す区間と[a, b)の共通区間内での最小値。共通区間を持たない場合はINF
        """
        if r <= a or b <= l:
            return float('inf')
        # [a,b)が完全に[l,r)を包含するならtree[k]で更新
        if a <= l and r <= b:
            return self.tree[k]
        # 一部だけ範囲内なら2つに分けて再帰的に調査
        m = (l + r) // 2
        return min(
            self._get_min(a, b, k << 1, l, m),
            self._get_min(a, b, (k << 1) + 1, m, r)
        )

# --------------------------
st = SegTreeMin(30)
st.update(10, 5)
st.update(20, 4)
print(st.get_min(5, 15)) # => 5
print(st.get_min(5, 25)) # => 4
st.update(11, 3)
print(st.get_min(5, 25)) # => 3

（単位元、演算）を外部から与えて柔軟性を持たせた形。ただし実行速度は多少悪くなる。

「既存の値に加える」「既存の値を上書き更新する」の2通りの更新方法が考えられるため、両方できるようにしといた。

class SegmentTreeInjectable:
    def __init__(self, n, identity_factory, func):
        n2 = 1 << (n - 1).bit_length()
        self.offset = n2
        self.tree = [identity_factory() for _ in range(n2 << 1)]
        self.func = func
        self.idf = identity_factory

    @classmethod
    def from_array(cls, arr, identity_factory, func):
        """ 既存の配列から生成 """
        ins = cls(len(arr), identity_factory, func)
        ins.tree[ins.offset:ins.offset + len(arr)] = arr
        for i in range(ins.offset - 1, 0, -1):
            l = i << 1
            r = l + 1
            ins.tree[i] = func(ins.tree[l], ins.tree[r])
        return ins

    def add(self, i, x):
        """
        Aiにxを加算
        :param i: index (0-indexed)
        :param x: add value
        """
        i += self.offset
        self.tree[i] = self.func(self.tree[i], x)
        self.__upstream(i)

    def update(self, i, x):
        """
        Aiの値をxに更新
        :param i: index(0-indexed)
        :param x: update value
        """
        i += self.offset
        self.tree[i] = x
        self.__upstream(i)

    def __upstream(self, i):
        tree = self.tree
        func = self.func
        while i > 1:
            tree[i >> 1] = func(tree[i], tree[i ^ 1])
            i >>= 1

    def get_range(self, a, b):
        """
        [a, b)の値を得る
        :param a: index(0-indexed)
        :param b: index(0-indexed)
        """
        tree = self.tree
        func = self.func
        result = self.idf()

        l = a + self.offset
        r = b + self.offset
        while l < r:
            if r & 1:
                result = func(result, tree[r - 1])
            if l & 1:
                result = func(result, tree[l])
                l += 1
            l >>= 1
            r >>= 1

        return result

    def get_point(self, i):
        return self.tree[i + self.offset]

区間足し込みという手法が使える。