セグメント木

• プログラミングコンテストでのデータ構造 (スライド33～)
• セグメント木について - beet's soil

区間に対する処理をするときによく使われる。$a_1,a_2,...,a_n$の配列に対し、以下を処理する。（一点更新区間取得）

• 区間和のセグメント木(例)
  • $update(i,x)$ : $a_i$ に $x$ を加算する
  • $query(l,r)$ : 区間 $[l,r) = a_l,a_{l+1},...,a_{r-1}$ の合計値を求める
• 最小値（最大値）のセグメント木(例)
  • $update(i,x)$ : $a_i$ を $x$ に上書き更新する
  • $query(l,r)$ : 区間 $[l,r) = a_l,a_{l+1},...,a_{r-1}$ の最小値（最大値）を求める

バリエーションがある。

• 区間更新・一点取得
• 区間更新・区間取得
• 多次元化
• 永続化
  • 更新を加えたときに、後から遡って「時刻 $t$ での状態」を復元できる構造

逆元があれば、取得できる区間の左端が $a_1$ 固定である Binary Indexed Tree が、より高速・実装もシンプルに求められる。 例えば区間和なら $a+b=c$ → $c-a=b$ なので、(区間$[l,r)$の和)$=$(区間$[1,r)$の和)$-$(区間$[1,l)$の和) で求められる。 最小値や最大値はこうはいかない。

数学的には、モノイド であればセグメント木で管理することができるとしている。 モノイドとは、例えば「整数全体」と「足し算」のように、ある要素の集合 $S$ とその上での二項演算 $\bullet$ の組合せの内、以下の条件を満たすものである。

• 結合律が成り立つ＝計算の順序を入れ替えてもいい
  • $(a \bullet b) \bullet c = a \bullet (b \bullet c)$
• 単位元が存在する
  • $S$ のどんな要素 $a$ に対しても影響を及ぼさない要素 $e$ が存在する
  • $a \bullet e = e \bullet a = a$

結合律が成り立たない例としては、実数と冪乗が挙げられる。$\displaystyle (4^3)^2=4096, 4^{(3^2)}=262144$

単位元が存在しない例としては、自然数と足し算があげられる。

ただし、モノイド→セグメント木が利用可能は真だが、逆は必ずしも真でない。 例えば単位元が無い自然数上の足し算は、（初期値などに制約はあるが）セグメント木で実装できる。

• 2019/11 get_min() を、indexとbit演算を使った書き方に変更（速度up）

class SegTreeMin:
    """
    以下のクエリを処理する
    1.update:  i番目の値をxに更新する
    2.get_min: 区間[l, r)の最小値を得る
    """

    def __init__(self, n, INF):
        """
        :param n: 要素数
        :param INF: 初期値（入りうる要素より十分に大きな数）
        """
        n2 = 1 << (n - 1).bit_length()
        self.offset = n2
        self.tree = [INF] * (n2 << 1)
        self.INF = INF

    def update(self, i, x):
        """
        i番目の値をxに更新
        :param i: index(0-indexed)
        :param x: update value
        """
        i += self.offset
        self.tree[i] = x
        while i > 1:
            y = self.tree[i ^ 1]
            if y <= x:
                break
            i >>= 1
            self.tree[i] = x

    def get_min(self, a, b):
        """
        [a, b)の最小値を得る
        :param a: index(0-indexed)
        :param b: index(0-indexed)
        """
        result = self.INF

        l = a + self.offset
        r = b + self.offset
        while l < r:
            if r & 1:
                result = min(result, self.tree[r - 1])
            if l & 1:
                result = min(result, self.tree[l])
                l += 1
            l >>= 1
            r >>= 1

        return result

再帰を使った書き方（Python, PyPyでは相対的に遅い）

class SegTreeMin:
    """
    以下のクエリを処理する
    1.update:  i番目の値をxに更新する
    2.get_min: 区間[l, r)の最小値を得る
    """

    def __init__(self, n):
        """
        :param n: 要素数
        """
        self.n = n
        # nより大きい2の冪数
        n2 = 1
        while n2 < n:
            n2 <<= 1
        self.n2 = n2
        self.tree = [float('inf')] * (n2 << 1)

    def update(self, i, x):
        """
        i番目の値をxに更新
        :param i: index(0-indexed)
        :param x: update value
        """
        i += self.n2
        self.tree[i] = x
        while i > 1:
            self.tree[i >> 1] = x = min(x, self.tree[i ^ 1])
            i >>= 1

    def get_min(self, a, b):
        """
        [a, b)の最小値を得る
        :param a: index(0-indexed)
        :param b: index(0-indexed)
        """
        return self._get_min(a, b, 1, 0, self.n2)

    def _get_min(self, a, b, k, l, r):
        """
        [a, b)の最小値を得る内部関数
        :param k: 現在調べている区間のtree内index
        :param l, r: kが表す区間の左右端index [l, r)
        :return: kが表す区間と[a, b)の共通区間内での最小値。共通区間を持たない場合はINF
        """
        if r <= a or b <= l:
            return float('inf')
        # [a,b)が完全に[l,r)を包含するならtree[k]で更新
        if a <= l and r <= b:
            return self.tree[k]
        # 一部だけ範囲内なら2つに分けて再帰的に調査
        m = (l + r) // 2
        return min(
            self._get_min(a, b, k << 1, l, m),
            self._get_min(a, b, (k << 1) + 1, m, r)
        )

# --------------------------
st = SegTreeMin(30)
st.update(10, 5)
st.update(20, 4)
print(st.get_min(5, 15)) # => 5
print(st.get_min(5, 25)) # => 4
st.update(11, 3)
print(st.get_min(5, 25)) # => 3

各値をオブジェクトで持つ場合

class SegmentTree:
    """
    値をObjectで持ち、更新方法を外部から与えられるSegmentTree
     (汎用性と引き替えに、速度がやや犠牲になる)

    update(i, x): iをxで更新
    get(a,b):     [a, b)を取得
    i,a,b は 0-indexed
    """

    def __init__(self, n, init_func, merge_func):
        """
        :param n: 要素数
        :param init_func: init_func() で初期状態の新しいオブジェクトを返す関数
        :param merge_func: merge_func(x, y) でxとyを統合する関数（xを破壊更新する）
        """
        self.n = n
        n2 = 1  # nより大きい2の冪数
        while n2 < n:
            n2 <<= 1
        self.n2 = n2
        self.tree = [init_func() for _ in range(n2 << 1)]
        self.ini = init_func
        self.merge = merge_func

    def update(self, i, x):
        i += self.n2
        self.merge(self.tree[i], x)
        while i > 1:
            self.merge(x, self.tree[i ^ 1])
            i >>= 1
            self.merge(self.tree[i], x)

    def get(self, a, b):
        result = self.ini()
        q = [(1, 0, self.n2)]
        
        while q:
            k, l, r = q.pop()
 
            if a <= l and r <= b:
                self.merge(result, self.tree[k])
                continue
 
            m = (l + r) // 2
            k <<= 1
            if a < m and l < b:
                q.append((k, l, m))
            if a < r and l < m:
                q.append((k + 1, m, r))
 
        return result

区間足し込みという手法が使える。