差分
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programming_algorithm:data_structure:binary_indexed_tree [2019/11/17] – [実装] ikatakos | programming_algorithm:data_structure:binary_indexed_tree [2020/06/04] – [概要] ikatakos | ||
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行 5: | 行 5: | ||
[[http:// | [[http:// | ||
- | Range Sum Query(区間の和)に対する効率的なデータ構造 | + | Range Sum Query(区間の和)に対する効率的なデータ構造。 |
- | * 数列$a_1, | + | * 数列 $a_1, |
* 以下の2つの要求を処理する | * 以下の2つの要求を処理する | ||
- | * $a_i$に$x$を加算($1 \le i \le n$) | + | * $a_i$ に $x$ を加算($1 \le i \le N$) |
- | * $a_s$から$a_t$までの合計を得る($1 \le s \le t \le n$) | + | * $a_s~a_t$ の合計を得る($1 \le s \le t \le N$) |
Binary Indexed Treeは、この2つを高速に行える。 | Binary Indexed Treeは、この2つを高速に行える。 | ||
行 49: | 行 49: | ||
</ | </ | ||
- | 注意点として、配列のindex等と異なり、添え字は1から始まる。そうしないと効率的に上下の要素を特定できないため。 | + | 注意点として、配列のindex等と異なり、添え字は1から始まる。その方が効率的に上下の要素を特定できるため。 |
⇤←←←←←←8 | ⇤←←←←←←8 | ||
行 55: | 行 55: | ||
⇤2 | ⇤2 | ||
1 3 5 7 9 ... | 1 3 5 7 9 ... | ||
+ | |||
+ | 添え字を2進数にしたもの。 | ||
+ | |||
+ | ⇤─←─←─←─←─←─←─1000 | ||
+ | ⇤─←─←─0100 | ||
+ | ⇤─0010 | ||
+ | 0001 0011 0101 0111 1001 ... | ||
+ | |||
+ | 「$a_1 ~ a_7$ の和」を求めるときに足される箇所。7を表す " | ||
+ | |||
+ | ⇤─←─←─←─←─←─←─1000 | ||
+ | ⇤─←─←【0100】 | ||
+ | ⇤─0010 | ||
+ | 0001 0011 0101 【0111】 | ||
+ | |||
=====区間に対する更新===== | =====区間に対する更新===== | ||
- | 上記のBit.add()は、点に対する更新しか行えない。では「a3~a7に一律に5を加算」などが必要な場合にどうするか。 | + | 上記のBit.add()は、点に対する更新しか行えない。では「$a_3~a_7$ に一律に5を加算」などが必要な場合にどうするか。 |
====区間の和が必要ない場合==== | ====区間の和が必要ない場合==== | ||
行 65: | 行 80: | ||
区間の和は必要なく、ある指定した位置の値だけわかれば良い場合。つまり、 | 区間の和は必要なく、ある指定した位置の値だけわかれば良い場合。つまり、 | ||
- | * $a_s$から$a_t$までに一律$x$を加算($1 \le s \le t \le n$) | + | * $a_s$ から $a_t$ までに一律 $x$ を加算($1 \le s \le t \le n$) |
- | * $a_i$の値を得る($1 \le i \le n$) | + | * $a_i$ の値を得る($1 \le i \le n$) |
この場合は、差分に着目することで、BITをそのまま利用できる。(上記pdf参照) | この場合は、差分に着目することで、BITをそのまま利用できる。(上記pdf参照) | ||
- | * $s$~$t$に一律$x$を加算→「$s$に$x$、$t+1$に$-x$を加算」 | + | * $a_s~a_t$ に一律 $x$ を加算→「$s$ に $x$、$t+1$ に $-x$ を加算」 |
- | * 位置$i$の値を取得→「$1$~$i$の合計を取得」 | + | * $a_i$ の値を取得→「$1~i$ の合計を取得」 |
- | なお、見ての通り添え字が$n+1$まで参照される可能性があるので、便宜上、Bitのサイズは1大きい値で作っておく | + | なお、見ての通り添え字が $n+1$ まで参照される可能性があるので、便宜上、BITのサイズは1大きい値で作っておく |
====区間の和も欲しい場合==== | ====区間の和も欲しい場合==== | ||
- | * $a_s$から$a_t$までに一律$x$を加算($1 \le s \le t \le n$) | + | * $a_s~a_t$ に一律 $x$ を加算($1 \le s \le t \le n$) |
- | * $a_s$から$a_t$までの合計を得る($1 \le s \le t \le n$) | + | * $a_s~a_t$ の合計を得る($1 \le s \le t \le n$) |
< | < | ||
行 141: | 行 156: | ||
* [[https:// | * [[https:// | ||
+ | |||
+ | (※以下、sum, | ||
<sxh python> | <sxh python> | ||
class Bit: | class Bit: | ||
- | def __init__(self, | + | def __init__(self, |
- | def sum(self, i): (略) | + | self.size = n |
- | def add(self, i, x): (略) | + | self.tree = [0] * (n + 1) |
+ | self.depth = n.bit_length() | ||
+ | |||
+ | def sum(self, i): | ||
+ | s = 0 | ||
+ | while i > 0: | ||
+ | s += self.tree[i] | ||
+ | i -= i & -i | ||
+ | return s | ||
+ | |||
+ | def add(self, i, x): | ||
+ | while i <= self.size: | ||
+ | self.tree[i] += x | ||
+ | i += i & -i | ||
def lower_bound(self, | def lower_bound(self, | ||
- | """ | + | """ |
- | | + | |
pos = 0 | pos = 0 | ||
for i in range(self.depth, | for i in range(self.depth, | ||
k = pos + (1 << i) | k = pos + (1 << i) | ||
- | if k <= self.size and sum + self.tree[k] < x: | + | if k <= self.size and sum_ + self.tree[k] < x: |
- | | + | |
pos += 1 << i | pos += 1 << i | ||
- | return pos + 1, sum | + | return pos + 1, sum_ |
</ | </ | ||