差分
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programming_algorithm:data_structure:binary_indexed_tree [2019/11/01] – ikatakos | programming_algorithm:data_structure:binary_indexed_tree [2020/12/13] – [より柔軟な実装] ikatakos | ||
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- | ======Binary Indexed Tree====== | + | ======Binary Indexed Tree(Fenwick Tree)====== |
=====概要===== | =====概要===== | ||
行 5: | 行 5: | ||
[[http:// | [[http:// | ||
- | Range Sum Query(区間の和)に対する効率的なデータ構造 | + | Range Sum Query(区間の和)に対する効率的なデータ構造。 |
- | * 数列$a_1, | + | * 数列 $a_1, |
* 以下の2つの要求を処理する | * 以下の2つの要求を処理する | ||
- | * $a_i$に$x$を加算($1 \le i \le n$) | + | * $a_i$ に $x$ を加算($1 \le i \le N$) |
- | * $a_s$から$a_t$までの合計を得る($1 \le s \le t \le n$) | + | * $a_s~a_t$ の合計を得る($1 \le s \le t \le N$) |
Binary Indexed Treeは、この2つを高速に行える。 | Binary Indexed Treeは、この2つを高速に行える。 | ||
行 49: | 行 49: | ||
</ | </ | ||
- | 注意点として、配列のindex等と異なり、添え字は1から始まる。そうしないと効率的に上下の要素を特定できないため。 | + | 注意点として、配列のindex等と異なり、添え字は1から始まる。その方が効率的に上下の要素を特定できるため。 |
- | | + | ⇤←←←←←←8 |
- | 4 | + | |
- | 2 6 | + | ⇤2 ⇤6 ⇤10 |
- | 1 3 5 7 9 ... | + | 1 3 5 7 9 |
+ | |||
+ | 添え字を2進数にしたもの。 | ||
+ | |||
+ | ⇤─←─←─←─←─←─←─1000 | ||
+ | ⇤─←─←─0100 | ||
+ | ⇤─0010 | ||
+ | 0001 0011 0101 0111 1001 ... | ||
+ | |||
+ | 「$a_1 ~ a_7$ の和」を求めるときに足される箇所。7を表す " | ||
+ | |||
+ | ⇤─←─←─←─←─←─←─1000 | ||
+ | ⇤─←─←【0100】 | ||
+ | ⇤─0010 | ||
+ | 0001 0011 0101 【0111】 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== より柔軟な実装 ==== | ||
+ | |||
+ | Fenwick木に載せられるのは足し算だけでなく、XORやかけ算、また(わりと致命的な制約はあるが一応は)minやmaxも載せられる。 | ||
+ | |||
+ | 「初期値」と「演算する関数」さえ決めればよいので、これを外部注入できるようにすると、柔軟な実装になる。 | ||
+ | |||
+ | ただし、Python(などインタプリタ言語)では一般的に「'' | ||
+ | 柔軟性のために演算を関数で与える関係上、前者の実装となるので、演算が単純でギリギリまで高速化を行いたい場合には向かない。 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ++++ Python3 | | ||
+ | |||
+ | <sxh python> | ||
+ | class FenwickTreeInjectable: | ||
+ | def __init__(self, | ||
+ | self.size = n | ||
+ | self.tree = [identity_factory() for _ in range(n + 1)] | ||
+ | self.func = func | ||
+ | self.idf = identity_factory | ||
+ | |||
+ | def add(self, i, x): | ||
+ | tree = self.tree | ||
+ | func = self.func | ||
+ | while i <= self.size: | ||
+ | tree[i] = func(tree[i], | ||
+ | i += i & -i | ||
+ | |||
+ | def sum(self, i): | ||
+ | s = self.idf() | ||
+ | tree = self.tree | ||
+ | func = self.func | ||
+ | while i > 0: | ||
+ | s = func(s, tree[i]) | ||
+ | i -= i & -i | ||
+ | return s | ||
+ | |||
+ | def lower_bound(self, | ||
+ | """ | ||
+ | 累積和がx以上になる最小のindexと、その直前までの累積和(未検証) | ||
+ | |||
+ | :param lt: lt(a, b) で a < b ならTrueを返す関数 | ||
+ | """ | ||
+ | total = self.idf() | ||
+ | pos = 0 | ||
+ | tree = self.tree | ||
+ | func = self.func | ||
+ | for i in range(self.depth, | ||
+ | k = pos + (1 << i) | ||
+ | new_total = func(total, tree[k]) | ||
+ | if k <= self.size and lt(new_total, | ||
+ | total = new_total | ||
+ | pos += 1 << i | ||
+ | return pos + 1, total | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | listやdictなどのオブジェクトを載せることもできる。\\ | ||
+ | その場合の注意点として、Pythonでは、オブジェクトを特に工夫無くコピーするとインスタンス自体が同じとなる。つまりどれか1つへの反映が他の全てに反映されてしまう。 | ||
+ | |||
+ | それを防ぐため、'' | ||
+ | |||
+ | <sxh python; | ||
+ | |||
+ | a = [0, 0] | ||
+ | aaa = [a] * 3 | ||
+ | print(aaa) | ||
+ | |||
+ | aaa[0][0] = 5 | ||
+ | print(aaa) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | # 以下の実装だと、上のようなことが発生する | ||
+ | class FenwickTreeInjectable: | ||
+ | def __init__(self, | ||
+ | self.size = n | ||
+ | self.tree = [identity_element] * (n + 1) # ←ここがまずい | ||
+ | self.func = func | ||
+ | |||
+ | ...略 | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ++++ | ||
=====区間に対する更新===== | =====区間に対する更新===== | ||
- | 上記のBit.add()は、点に対する更新しか行えない。では「a3~a7に一律に5を加算」などが必要な場合にどうするか。 | + | 上記のBit.add()は、点に対する更新しか行えない。では「$a_3~a_7$ に一律に5を加算」などが必要な場合にどうするか。 |
====区間の和が必要ない場合==== | ====区間の和が必要ない場合==== | ||
行 65: | 行 163: | ||
区間の和は必要なく、ある指定した位置の値だけわかれば良い場合。つまり、 | 区間の和は必要なく、ある指定した位置の値だけわかれば良い場合。つまり、 | ||
- | * $a_s$から$a_t$までに一律$x$を加算($1 \le s \le t \le n$) | + | * $a_s$ から $a_t$ までに一律 $x$ を加算($1 \le s \le t \le n$) |
- | * $a_i$の値を得る($1 \le i \le n$) | + | * $a_i$ の値を得る($1 \le i \le n$) |
この場合は、差分に着目することで、BITをそのまま利用できる。(上記pdf参照) | この場合は、差分に着目することで、BITをそのまま利用できる。(上記pdf参照) | ||
- | * $s$~$t$に一律$x$を加算→「$s$に$x$、$t+1$に$-x$を加算」 | + | * $a_s~a_t$ に一律 $x$ を加算→「$s$ に $x$、$t+1$ に $-x$ を加算」 |
- | * 位置$i$の値を取得→「$1$~$i$の合計を取得」 | + | * $a_i$ の値を取得→「$1~i$ の合計を取得」 |
- | なお、見ての通り添え字が$n+1$まで参照される可能性があるので、便宜上、Bitのサイズは1大きい値で作っておく | + | なお、見ての通り添え字が $n+1$ まで参照される可能性があるので、便宜上、BITのサイズは1大きい値で作っておく |
====区間の和も欲しい場合==== | ====区間の和も欲しい場合==== | ||
- | * $a_s$から$a_t$までに一律$x$を加算($1 \le s \le t \le n$) | + | * $a_s~a_t$ に一律 $x$ を加算($1 \le s \le t \le n$) |
- | * $a_s$から$a_t$までの合計を得る($1 \le s \le t \le n$) | + | * $a_s~a_t$ の合計を得る($1 \le s \le t \le n$) |
< | < | ||
行 136: | 行 234: | ||
* [[https:// | * [[https:// | ||
+ | =====累積和の二分探索===== | ||
+ | 二分探索により、累積和が $x$ のindexや、$x$ を越えない最大のindexとその時の累積和などを得ることができる。 | ||
+ | * [[https:// | ||
+ | (※以下、sum, | ||
+ | <sxh python> | ||
+ | class Bit: | ||
+ | def __init__(self, | ||
+ | self.size = n | ||
+ | self.tree = [0] * (n + 1) | ||
+ | self.depth = n.bit_length() | ||
+ | |||
+ | def sum(self, i): | ||
+ | s = 0 | ||
+ | while i > 0: | ||
+ | s += self.tree[i] | ||
+ | i -= i & -i | ||
+ | return s | ||
+ | |||
+ | def add(self, i, x): | ||
+ | while i <= self.size: | ||
+ | self.tree[i] += x | ||
+ | i += i & -i | ||
+ | |||
+ | def lower_bound(self, | ||
+ | """ | ||
+ | sum_ = 0 | ||
+ | pos = 0 | ||
+ | for i in range(self.depth, | ||
+ | k = pos + (1 << i) | ||
+ | if k <= self.size and sum_ + self.tree[k] < x: | ||
+ | sum_ += self.tree[k] | ||
+ | pos += 1 << i | ||
+ | return pos + 1, sum_ | ||
+ | |||
+ | </ | ||