差分
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| programming_algorithm:contest_history:atcoder:2019:0106_educational_dp [2019/01/10] – [解法] ikatakos | programming_algorithm:contest_history:atcoder:2019:0106_educational_dp [2019/01/10] – [解法] ikatakos | ||
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| - | ======Educational DP Contest I, | + | ======Educational DP Contest I,K,L,Mメモ====== |
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| + | ===== M - Candies ===== | ||
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| + | ==== 問題 ==== | ||
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| + | * $K$ 個のキャンディを、余りなく $N$ 人の子供に分ける | ||
| + | * 各子供には上限 $a_1, | ||
| + | * 配り方のパターン数を、$\mod{10^9+7}$ で求めよ | ||
| + | * $1 \le N \le 100$ | ||
| + | * $1 \le K \le 10^5$ | ||
| + | |||
| + | ==== 解法 ==== | ||
| + | |||
| + | 愚直にやる方法は基本的なDPで実装できるけど、遷移が多くてTLEになるので、上手く圧縮する。 | ||
| + | |||
| + | ===愚直な方法=== | ||
| + | |||
| + | ==データ== | ||
| + | $DP[i][j]=i$人目までの子供に、$j$ 個の飴を配るパターン数 | ||
| + | |||
| + | として考える。$j$ の範囲は $0～K$ で用意することになる。 | ||
| + | |||
| + | ==初期状態== | ||
| + | $DP[0][0]=1$、後は0 | ||
| + | |||
| + | ==遷移== | ||
| + | $i-1$ までのDPが以下のような感じで、$a_i=2$ だった場合の遷移を考える。 | ||
| + | |||
| + | ↑j | | ||
| + | 5 | | ||
| + | 4 | | ||
| + | 3 | | ||
| + | 2 | 9 9 + 8 + 1 = 18 | ||
| + | 1 | 8 8 + 1 | ||
| + | 0 | 1 1 | ||
| + | ----+------------------------- | ||
| + | | | ||
| + | | ||
| + | | ||
| + | | ||
| + | |||
| + | この、○個配ったときの各遷移の各 $j$ につき、$DP[i-1]$ の参照と $DP[i]$ への加算が発生するので、$i-1$ から $i$ への遷移で計算が $K \times a_i$ 回発生することになる。それぞれ上限 $10^5$ なので、間に合わない。 | ||
| + | |||
| + | ===圧縮=== | ||
| + | |||
| + | ==遷移== | ||
| + | |||
| + | 全体を把握するため、もう少し少ない例でやってみる。 | ||
| + | |||
| + | ↑j | 1=1 | ||
| + | 5 | 1+2=3 | ||
| + | 4 | | ||
| + | 3 | | ||
| + | 2 | | ||
| + | 1 | | ||
| + | 0 | | ||
| + | ----+-----+-------+---------+----------- | ||
| + | | | ||
| + | |||
| + | |||
| + | なんか規則性がありそう。 | ||
| + | |||
| + | 「$a_i$ による上限を設けない」場合との差を考えてみる。 | ||
| + | |||
| + | ↑j | ... | ||
| + | 7 | 1+2+2+1=6 | ||
| + | 6 | 1+2+2+1 | ||
| + | 5 | 1+2+2+1 | ||
| + | 4 | 1+2+2+1 | ||
| + | 3 | 1 | ||
| + | 2 | 2 | ||
| + | 1 | 2 | ||
| + | 0 | 1 | ||
| + | ----+----+-------------------+-------------------- | ||
| + | | i=2 | ||
| + | |||
| + | 上限を設けない場合、配り方のパターン数は、直前の状態(1, | ||
| + | |||
| + | よって、累積和でまとめてしまえば、1回の遷移にかかる計算を上限 $K$ 回に省略でき、間に合う。 | ||
| + | |||
| + | <sxh python> | ||
| + | from itertools import accumulate, starmap | ||
| + | from operator import sub | ||
| + | |||
| + | n, k = map(int, input().split()) | ||
| + | aaa = list(map(int, | ||
| + | MOD = 10 ** 9 + 7 | ||
| + | dp = [0] * (k + 1) | ||
| + | dp[0] = 1 | ||
| + | for a in aaa: | ||
| + | dp = list(accumulate(dp)) | ||
| + | dp[a + 1:] = starmap(sub, | ||
| + | dp = [x % MOD for x in dp] | ||
| + | print(dp[k]) | ||
| + | </ | ||
