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CODE FESTIVAL 2017 Qual C

B - Similar Arrays

B: Similar Arrays - CODE FESTIVAL 2017 qual C | AtCoder

問題:数列Aに「似ている」数列の中で、各項を全て掛け合わせると偶数になるようなのはいくつ?(「似ている」の定義は問題文参照)

C - Inserting 'x'

C: Inserting 'x' - CODE FESTIVAL 2017 qual C | AtCoder

問題:英小文字からなる文字列sの好きな位置に'x'を挿入して回文にできるか?できるなら何回挿入すればいい?

sを前後双方から1文字ずつ見ていって、同じか調べる

D - Yet Another Palindrome Partitioning

D: Yet Another Palindrome Partitioning - CODE FESTIVAL 2017 qual C | AtCoder

問題:英小文字からなる文字列sを分割する。分割された各項は、並べ替えると回文が作れるようになっていなくてはならない。最小の分割数を求める。

文字は英小文字のみという制約があるので、26種類。奇数か偶数かだけ分かればいいので、ビットフラグが使える。'a'=0x001, 'b'=0x010, 'c'=0x100, …とする。

ある文字列sに含まれる文字が奇数個ならビットを立てる。たとえば'aabbccdddef'は、d,e,fが奇数個なので、0x111000で表される。これをsのハッシュと呼ぶことにする。すると、以下に置き換えられる。

(で、ハッシュにするにはしたが、その後がわからず。普通にやるとTLEなので、動的計画法で上手いことやるんだろーなとは思いつつ、時間終了。以降、ほぼ解答の書き写しになってしまうが)

ポイントは、以下の点。

これにより、任意の文字列のハッシュが高速に求められる。その上で、問題を以下の部分問題に分割する。

optiを、s[0,i)の最小の分割数とする。opt0=0として、i=1から順に計算する。最終的にoptNが答えとなる。

いま、optiを求めることを考える。optj (1j<i)は計算済みとする。

s[0,i)を、s[k,i)が回文を作れるような位置kでs[0,k)s[k,i)に分けると、暫定的にopti=optk+1となる。

具体的に考える。s[0,i)='abcdabcab'とする。たとえばk=4として'abcd' + 'abcab'に分けると、'abcab'は回文を作れる。よって、暫定的にopti=(abcd)+1となる。'abcd'は1文字ずつに分割するしか無いのでoptk=4。暫定でopti=5となる。

最終的なoptiは、kを1k<iの範囲で調べて、その中の最小値となる。

先ほどの例では、k=2として'ab' + 'cdabcab'と分けても、'cdabcab'が回文を作れる。その方がopti=ab+1=3となり、より適した分割になる。

が、これではopt1...Nの計算にO(N)、その各計算の中でk=1...iのループにO(N)、合計でO(N2)かかるのでTLE。

次のポイントは、

2つの文字列のハッシュ値が同じということは、つまりs[i, j)には「各文字がちょうど偶数回ずつ出現する」ということ。回文を作れる文字列の末尾にそのような文字列をくっつけたり(取れるなら)取ったりしても、回文を作れることに変わりない。よって最適な分割数も変わらない。

これで何がいいかというと、kの具体的な値がわからなくても、たとえば「akが0x110010になるようなkのoptk」は一意に決まる。

その上で、

よって、ハッシュ値akをキー、そのハッシュ値を持つ文字列の最小分割数optkを値とした辞書によるDPをおこなう。

調べるのは各aiのループにつき27個で済むため、O(N)となり、間に合う。