母数の値に対する、二者択一的な命題について、偶然原因によるばらつきを踏まえて統計学的に結論を出す手法
(⇔推定:母数の値を、具体的な数値で求める手法)
頻度主義統計学における検定の一般的な手法。
「2つの分布の間に違いはあるか?」を検定する際、まずは「違いは無い」として両者のパラメータを同じと想定する。その上で実際に取れたデータを見て、「もし違いが無ければ、こんなデータになる確率は○%だ」を算出し、それが低すぎるようであれば「違いがある」と結論づける。
もちろん、$H_0$の起こりうる確率がいくら低くても、完全に0%になることはまず無い。よって「どの程度起こりにくければ、違いがあると結論づけることにするか」は、あらかじめ決めておく必要がある。これを有意水準といい、$\alpha$で表す。データの性質によるが、5%や1%が用いられることが多い。
$H_0$の起こる確率が有意水準を下回るために否定することを、棄却するという。
違いがあるのに違いは無いとしてしまう、逆に無いのにあるとしてしまうことは避けられない。しかし、どの程度の割合で誤った結論を下してしまう危険があるのか、把握しておくことは重要である。
| 検定結果 | |||
| $H_0$ | $H_1$ | ||
| 真実 | $H_0$ | 正しい | 第1種の過誤 |
| $H_1$ | 第2種の過誤 | 正しい | |
$1-\beta$で示され、$\alpha \sim 1$までの値を取る。基本的に大きいほど望ましい。
両側検定$H_0:\mu=\mu_0, H_1:\mu \ne \mu_0, \alpha=0.05$の検出力は、以下の式で求められる。
\begin{eqnarray} 1-\beta &=&Pr\{\bar{x}\le\mu_0-K_{0.025}\sqrt{\sigma^2/n}\}+Pr\{\bar{x}\ge\mu_0+K_{0.025}\sqrt{\sigma^2/n}\} \\ &=&Pr\{\frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}}\le\frac{\mu_0-\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}}-K_{0.025}\}+Pr\{\frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}}\ge\frac{\mu_0-\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}}+K_{0.025}\} \\ &=&Pr\{u\le\frac{\mu_0 -\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}}-K_{0.025}\}+Pr\{u\ge\frac{\mu_0 -\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}}+K_{0.025}\} \end{eqnarray}
前半の項は「帰無仮説で仮定した確率分布より、期待値が有意に低いと判定され、かつ実際に有意である確率」、後半の項は「期待値が有意に高いと(以下同)」である。移項して正規化している。$(u\sim N(0,1))$
ここで$K_P$は、「$K_P$以上を取る確率がPとなるような値」で、標準正規分布では$K_{0.025}=1.960$となる。これは正規分布表を逆引きすることで導き出せる。Pが有意水準0.05の半分となっているのは、両側検定では上に外れる(有意となる)確率と下に外れる確率、両方合わせて0.05と取るからで、正規分布は左右対称なので上下に外れる確率は等しくなり、それぞれ0.025として計算することになる。
これが上側検定の検出力の算出なら後半の項だけでいいし、下側検定なら前半だけでよい。片側検定の場合は、$K_{0.05}=1.645$と有意水準そのままの値でKを算出する。