全ての3点組について、同一直線上に存在するか調べればよい。
2点 $i,j$（$i \lt j$）を固定し、通る直線 $L$ を求める。
3点目を $j \lt k$ の範囲で探索し、$L$ 上にあった $k$ の個数+2が、その直線が通る点の個数。
全ての $i,j$ を通して、最も通った点の数が多い直線が求めるもの。
いくつかの方法がある。なるべく途中で小数が出てこないようにする方がよい。
3点に囲まれた三角形の面積は以下で求められる。
これが0なら同一直線上にある。
幾何でよく使われるユーティリティ関数に、ccw（Counter-ClockWise、反時計回り判定）がある。
$A→B$ の線分から見て、$B→C$ がどっち向きに曲がっているか（まっすぐか）を、外積で判定する。
汎用性があるので、これで判定してもよい。
2点組ごとに「2点を結ぶ直線の方程式 $ax+by+c=0$ の係数 $(a,b,c)$」を求め、それごとにカウントする。
$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ を通る直線の方程式は、$d_x=x_2-x_1,d_y=y_2-y_1$ として、以下のようになる。
ただし、係数に定数倍をかけたものは $(a,b,c)$ が異なっても同一の直線を示すので、それらを統一する必要がある。
こうすると、違いを吸収して、同一の直線は同一の $(a,b,c)$ となる。
$k$ 個の点が並ぶ直線は、$\dfrac{k(k-1)}{2}$ 回カウントされることになるので、 最終カウント結果から、各直線にいくつの点が並ぶか復元できる。
$O(N^2)$ 本の全てのカウントされた直線に対して個数を復元する。$k$ 個の点が並ぶ直線上には、${}_kC_{3}$ 組の3つ組みがある。
最も多くカウントされた直線が、求める直線である。