つい最近、似たような問題が出た気がする。復習大事。
from collections import defaultdict s = input() cnt = defaultdict(int) cnt[0] += 1 tmp = 0 for i, c in enumerate(s[::-1]): c = int(c) tmp = (tmp + c * pow(10, i, 2019)) % 2019 cnt[tmp] += 1 print(sum(c * (c - 1) // 2 for c in cnt.values()))
頂点を多重にする最短経路探索の練習的問題?
$N,A_i$ がなかなか少なめ。
運賃があるなら時間優先で各都市に向かいたいが、足りない場合、どこかで両替の必要がある。 遠く離れた都市でメッチャ速く両替できるなら、わざわざそこまで行って両替して、帰ってくるみたいなこともあり得る。 なので、1回訪れた都市を再度訪れるかも知れないので、普通のDijkstraなどでは上手くいかない。
だが、もし2回目に訪れたとき、1回目より所持銀貨が同じや少なかったら……?
その場合、2回目から時間 $t$ かけて訪れられる都市は、1回目の時点でも当然同じ経路を辿れば同じように訪れられる。 従って、トータルでは絶対に遅くなるので、それ以上探索を広げる必要は無い。
所持銀貨の情報も合わせて考慮すればよさそう。
Dijksra法を使うとし、頂点を「$(v, s)=$ 都市 $v$ を、所持銀貨 $s$ で訪れた状態」とする。$DP[v,s]$ をその状態に至れる最短所要時間とする。
とある $(v,s)$ に時間 $t$ で到達できた場合、以下の2通りの遷移を行う。
ここで $s$ は、都市が50個しか無いので最遠でも $49$ 回鉄道に乗ればよくて、鉄道1回の運賃も50以下なので、 多くとも $50 \times 49 = 2450$ さえ持っていれば、それ以上両替の必要は無い。
よって、頂点数は $O(N^2A_{max})$ となる。
辺数も、1頂点から伸びる1本が約2450倍に複製される感じなので、$O(NMA_{max})$ となる。
優先付きキューを使うと、Dijkstraの計算量は $O((N^2A_{max}+NMA_{max})\log{N^2A_{max}})$ で、上限の数字を当てはめるとだいたい6375000となる。
これは実際、Pythonではちょっと厳しくて、下手なことをするとTLEになってしまう。
たとえば、1回都市 $v$ を訪れたなら、そこで両替できるだけしてしまうという考えもある。
だがこうすると、Dijkstraの実装によっては、キューに同じ状態を示す頂点が多く積み上がってしまうことになり、TLEとなる。(この事実に気付くのに時間かかった)
両替は1度に金貨1枚分とし、それがキューから引っ張り出されたら、改めてもう1枚両替を考慮すればよい。
import sys from heapq import heappop, heappush n, m, ss = map(int, input().split()) lines = sys.stdin.readlines() links = [set() for _ in range(n)] aaa = [] for line in lines[:m]: u, v, a, b = map(int, line.split()) u -= 1 v -= 1 links[u].add((v, a, b)) links[v].add((u, a, b)) aaa.append(a) exchanges = [] for line in lines[m:]: c, d = map(int, line.split()) exchanges.append((c, d)) req = sum(sorted(aaa, reverse=True)[:n - 1]) INF = 10 ** 18 ans = [INF] * n ans_silver = [-1] * n q = [(0, ss, 0)] # (time, silver, city) visited = set() fixed = 0 while q: t, s, v = heappop(q) if (s, v) in visited or ans_silver[v] >= s: continue visited.add((s, v)) if ans[v] == INF: ans[v] = t ans_silver[v] = s fixed += 1 if fixed == n: break for u, a, b in links[v]: if s < a: continue ns = s - a nt = t + b if (ns, u) in visited or ans_silver[u] >= ns: continue heappush(q, (nt, ns, u)) c, d = exchanges[v] ns = s + c if ns <= req and (ns, v) not in visited: heappush(q, (t + d, ns, v)) print('\n'.join(map(str, ans[1:])))
数字を2進数で見たとき、ある桁の処理は他の桁に影響しないので、桁毎に考える。$U,V$ は 0/1 の2通りだけを考えればよくなる。
S 処理 U _ _ _ _ | 1 or 1 _ _ _ _ | 1 or 0 _ _ _ _ | 0 and 0 _ _ _ _ | 0 and 1 -----------------+ T 0 1 0 1 処理 and or and or V 1 1 0 0
ここで、まずは2つの事実により、確定する行・列がある。($T,V$ でも同じ)
これを埋める。この時点で、行と列でかち合うものがあれば、不可能。
S 処理 U _ _ _ _ | 1 or 1 0 0 0 0 | 1 or 0 ←確定 _ _ _ _ | 0 and 0 1 1 1 1 | 0 and 1 ←確定 -----------------+ T 0 1 0 1 処理 and or and or V 1 1 0 0 ↑ 1確定だが、既に0が埋まっている
以下のようにすると、かち合うものを検出できる。
さて、次に、確定しないものを考える。
ここで、未確定の行・未確定の列の個数で、処理を場合分けする。
話は簡単で、未確定マスの中だけで市松模様状に敷き詰めればよい。必ず、どの行・列にも0,1が1マス以上存在するようになる。
S 処理 U 1 [0] 1 [1] | 1 or 1 1 [1] 1 [0] | 1 or 1 1 [0] 1 [1] | 0 and 0 1 1 1 1 | 0 and 1
マスは全て確定している。「確定する条件」の中では、矛盾はない。
後は、未確定条件が全て合致しているか調べればよい。
以下は、列側の要件により全てが“1”で確定した状態で 行側の要件を確認する過程だが、この時に「どれか1つは0」があると矛盾する。
S 処理 U 1 1 1 1 | 1 or 1 [未確定] どれか1つは1 1 1 1 1 | 1 or 1 [未確定] どれか1つは1 1 1 1 1 | 0 and 0 [未確定] どれか1つは0 → 矛盾 1 1 1 1 | 0 and 1 [確定]
これも、確定行同士での矛盾を検出するときと同様、「0で埋まった列があるか」「1で埋まった列があるか」を記録しておけばよい。
市松模様が使えない。この処理にちょっと混乱してWAを連発した。まぁこれは丁寧にいろんなケースを確認していくしかないんだろう。
未確定が1つのみなのが列であるとし、その列で少なくとも1つは存在しなければいけない値が $b$ だとする。
S 処理 U 1 1 _ 1 | 1 or 1 どれか1つは1 1 1 _ 1 | 1 or 1 どれか1つは1 1 1 _ 1 | 0 and 0 どれか1つは0 1 1 1 1 | 0 and 1 [確定] ↑ どれか1つは1 ... 既に満たされている
この場合、未確定列の要件は既に満たされているので、行方向で未確定の要件に求められているものを埋めればよい。
S 処理 U 1 1 [1] 1 | 1 or 1 どれか1つは[1] 1 1 [1] 1 | 1 or 1 どれか1つは[1] 1 1 [0] 1 | 0 and 0 どれか1つは[0] 1 1 1 1 | 0 and 1 [確定]
$\bar{b}$ は、反転したもの(0なら1、1なら0)とする。
S 処理 U 0 1 _ 1 | 1 or 1 どれか1つは1 0 1 _ 1 | 1 or 1 どれか1つは1 0 1 _ 1 | 0 and 0 どれか1つは0 0 1 _ 1 | 0 and 0 どれか1つは0 ↑ どれか1つは1
この場合、未確定な行の要件で、$\bar{b}$ なものは既に満たされているので、全て $b$ で埋めてよい。
S 処理 U 0 1 [1] 1 | 1 or 1 どれか1つは1 0 1 [1] 1 | 1 or 1 どれか1つは1 0 1 [1] 1 | 0 and 0 どれか1つは0 [要件は既に満たされている] 0 1 [1] 1 | 0 and 0 どれか1つは0 [要件は既に満たされている] ↑ どれか1つは[1]
S 処理 U 1 1 _ 1 | 0 and 0 どれか1つは0 1 1 _ 1 | 0 and 0 どれか1つは0 1 1 _ 1 | 0 and 0 どれか1つは0 1 1 _ 1 | 0 and 0 どれか1つは0 ↑ どれか1つは1
未確定な行で、入れたい値が $\bar{b}$ なものは、まだ要件が満たされていないので、未確定の残る1列に入れるしかない。
よって、基本は未確定な行の要件で埋めていく。
そうして埋めていって、$b$ の入る行が1つも無ければ、そこで不可能となる。
S 処理 U 1 1 0 1 | 0 and 0 どれか1つは0 1 1 0 1 | 0 and 0 どれか1つは0 1 1 0 1 | 0 and 0 どれか1つは0 1 1 0 1 | 0 and 0 どれか1つは0 ↑ どれか1つは1 ... 矛盾!
1つでもあれば、それで列の要件も満たされるので、よし。
# なんて冗長なコードですこと。 from functools import reduce def add_row(ans, n, i, k): for j in range(n): ans[i][j] |= k def add_column(ans, n, j, k): for i in range(n): ans[i][j] |= k def solve(n, sss, ttt, uuu, vvv): max_d = max(max(uuu).bit_length(), max(vvv).bit_length()) ans = [[0] * n for _ in range(n)] for d in range(max_d): k = 1 << d ambiguous_i = [] ambiguous_j = [] filled_i = [False, False] filled_j = [False, False] for i, (s, u) in enumerate(zip(sss, uuu)): if s == 0: if u & k: add_row(ans, n, i, k) filled_i[1] = True else: ambiguous_i.append((i, 0)) else: if u & k: ambiguous_i.append((i, 1)) else: filled_i[0] = True for j, (t, v) in enumerate(zip(ttt, vvv)): if t == 0: if v & k: if filled_i[0]: return -1 add_column(ans, n, j, k) filled_j[1] = True else: ambiguous_j.append((j, 0)) else: if v & k: ambiguous_j.append((j, 1)) else: if filled_i[1]: return -1 filled_j[0] = True # print(*map('{:064b}'.format, [k] * (n + 1))) # for i in range(n): # print(*map('{:064b}'.format, ans[i]), end=' ') # print('{:064b}'.format(uuu[i])) # print(*map('{:064b}'.format, vvv)) # print(ambiguous_i, ambiguous_j) # print(filled_i, filled_j) # print() if len(ambiguous_i) == 0: amb = set(bj for j, bj in ambiguous_j) for bj in amb: if not filled_i[bj]: return -1 elif len(ambiguous_j) == 0: amb = set(bi for i, bi in ambiguous_i) for bi in amb: if not filled_j[bi]: return -1 elif len(ambiguous_i) == 1: i, bi = ambiguous_i[0] if filled_j[bi]: for j, bj in ambiguous_j: if bj: ans[i][j] |= k elif filled_i[bi ^ 1]: if bi: for j, bj in ambiguous_j: ans[i][j] |= k else: ok = False for j, bj in ambiguous_j: if bj: ans[i][j] |= k if bi == bj: ok = True if not ok: return -1 elif len(ambiguous_j) == 1: j, bj = ambiguous_j[0] if filled_i[bj]: for i, bi in ambiguous_i: if bi: ans[i][j] |= k elif filled_j[bj ^ 1]: if bj == 1: for i, bi in ambiguous_i: ans[i][j] |= k else: ok = False for i, bi in ambiguous_i: if bi: ans[i][j] |= k if bi == bj: ok = True if not ok: return -1 else: for ii, (i, bi) in enumerate(ambiguous_i): for jj, (j, bj) in enumerate(ambiguous_j): if (ii ^ jj) & 1: ans[i][j] |= k return ans n = int(input()) sss = list(map(int, input().split())) ttt = list(map(int, input().split())) uuu = list(map(int, input().split())) vvv = list(map(int, input().split())) ans = solve(n, sss, ttt, uuu, vvv) if ans == -1: print(ans) else: for row in ans: print(*row)